There are 5472730538 essentially different Sudoku grids

... and the Sudoku symmetry group

Ed Russell and Frazer Jarvis


In the earlier computation of the number of Sudoku grids, we treated two grids as different even when they might be closely related, perhaps simply by relabelling the numbers, or by a reflection or rotation. It would be nice to know the number of essentially different Sudoku grids, where we regard two grids as "essentially different" if one cannot be transformed into another by some sequence of:

Apart from relabelling, the others can be regarded as fixed permutations of the underlying 81 squares, and so the group G they form can be regarded as a subgroup of the symmetric group S81.

As Gordon Royle pointed out, the row permutations form a group isomorphic to the wreath product of two copies of S3, as do the column permutations. Transposing (reflection in a diagonal) gives another element of order 2. Consequently, the group G has order 64.64.2=3359232. Gordon points out that the symmetry group G is generated just by the permutations, relabelling and by transposing the grid (in the usual matrix sense) - the result already contains all reflections and rotations.

In fact, using GAP, we can input this group as a permutation group on the 81 squares, and its order is indeed 3359232. Using GAP we can say more. The group has trivial centre and exponent 72. The group is solvable, but not nilpotent. It has derived length 5.

Here is the GAP file to define the group. And here is the output.

Most importantly, for the Sudoku problem, there are 275 conjugacy classes of elements of G. To solve the problem above, we have to work out, for each representative in a conjugacy class, exactly how many grids are invariant up to relabelling under this permutation. In other words, given a representative, we have to work out how many grids there are, which when we apply the permutation, give a relabelled version of the original grid. The final table on this page gives a representative for each class, the size of the class and the number of grids invariant up to relabelling under this representative (divided by 9!).

We label the squares as follows:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45
46 47 48 49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60 61 62 63
64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81

The table that follows contains all the relevant data for this problem. Column 1 gives a label to each conjugacy class (this is arbitrary, and is just in the order given by the program). Column 2 gives the size of the class, column 3 gives a representative element, and column 4 gives Ed Russell's computation of the number of grids fixed up to relabelling. The result is that there are 5472730538 essentially different grids. At the end of this page, we indicate how to alter the calculation for a different symmetry group.

Here are the representatives for the classes:

Class Size Representative Number of invariant grids
1 1 () 18383222420692992 
2 36 (7 8 9)(16 17 18)(25 26 27)(34 35 36)(43 44 45)(52 53 54)(55 64 73)(56 65 74)(57 66 75)(58 67 76)(59 68 77)(60 69 78)(61 71 81)(62 72 79)(63 70 80) 0 
3 12 (55 73 64)(56 74 65)(57 75 66)(58 76 67)(59 77 68)(60 78 69)(61 79 70)(62 80 71)(63 81 72) 0 
4 144 (4 5 6)(7 8 9)(13 14 15)(16 17 18)(22 23 24)(25 26 27)(31 32 33)(34 35 36)(40 41 42)(43 44 45)(49 50 51)(52 53 54)(55 64 73)(56 65 74)(57 66 75)(58 68 78)(59 69 76)(60 67 77)(61 71 81)(62 72 79)(63 70 80) 0 
5 24 (4 5 6)(7 8 9)(13 14 15)(16 17 18)(22 23 24)(25 26 27)(31 32 33)(34 35 36)(40 41 42)(43 44 45)(49 50 51)(52 53 54)(58 59 60)(61 62 63)(67 68 69)(70 71 72)(76 77 78)(79 80 81) 0 
6 144 (4 5 6)(7 8 9)(13 14 15)(16 17 18)(22 23 24)(25 26 27)(28 37 46)(29 38 47)(30 39 48)(31 41 51)(32 42 49)(33 40 50)(34 44 54)(35 45 52)(36 43 53)(55 64 73)(56 65 74)(57 66 75)(58 68 78)(59 69 76)(60 67 77)(61 71 81)(62 72 79)(63 70 80) 0 
7 96 (1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(13 14 15)(16 17 18)(19 20 21)(22 23 24)(25 26 27)(28 29 30)(31 32 33)(34 35 36)(37 38 39)(40 41 42)(43 44 45)(46 47 48)(49 50 51)(52 53 54)(55 74 66)(56 75 64)(57 73 65)(58 77 69)(59 78 67)(60 76 68)(61 80 72)(62 81 70)(63 79 71) 21233664 
8 16 (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)(13 14 15)(16 18 17)(19 20 21)(22 23 24)(25 27 26)(28 29 30)(31 32 33)(34 36 35)(37 38 39)(40 41 42)(43 45 44)(46 47 48)(49 50 51)(52 54 53)(55 56 57)(58 59 60)(61 63 62)(64 65 66)(67 68 69)(70 72 71)(73 74 75)(76 77 78)(79 81 80) 107495424 
9 192 (1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(13 14 15)(16 17 18)(19 20 21)(22 23 24)(25 26 27)(28 38 48)(29 39 46)(30 37 47)(31 41 51)(32 42 49)(33 40 50)(34 44 54)(35 45 52)(36 43 53)(55 74 66)(56 75 64)(57 73 65)(58 77 69)(59 78 67)(60 76 68)(61 80 72)(62 81 70)(63 79 71) 4204224 
10 64 (1 11 21)(2 12 19)(3 10 20)(4 14 24)(5 15 22)(6 13 23)(7 17 27)(8 18 25)(9 16 26)(28 38 48)(29 39 46)(30 37 47)(31 41 51)(32 42 49)(33 40 50)(34 44 54)(35 45 52)(36 43 53)(55 65 75)(56 66 73)(57 64 74)(58 68 78)(59 69 76)(60 67 77)(61 71 81)(62 72 79)(63 70 80) 2508084 
11 729 (5 6)(8 9)(14 15)(17 18)(23 24)(26 27)(32 33)(35 36)(37 46)(38 47)(39 48)(40 49)(41 51)(42 50)(43 52)(44 54)(45 53)(59 60)(62 63)(64 73)(65 74)(66 75)(67 76)(68 78)(69 77)(70 79)(71 81)(72 80) 0 
12 2916 (1 2 3)(5 6)(8 9)(10 11 12)(14 15)(17 18)(19 20 21)(23 24)(26 27)(28 29 30)(32 33)(35 36)(37 47 39 46 38 48)(40 49)(41 51)(42 50)(43 52)(44 54)(45 53)(55 65 57 64 56 66)(58 67)(59 69)(60 68)(61 70)(62 72)(63 71)(73 74 75)(77 78)(80 81) 0 
13 2916 (1 11 21)(2 12 19)(3 10 20)(4 13 22)(5 15 23 6 14 24)(7 17 25 8 16 26)(9 18 27)(28 29 30)(32 33)(34 35)(37 47 39 46 38 48)(40 49)(41 51)(42 50)(43 53)(44 52)(45 54)(55 65 57 64 56 66)(58 67)(59 69)(60 68)(61 71)(62 70)(63 72)(73 74 75)(77 78)(79 80) 0 
14 54 (2 3)(5 6)(11 12)(14 15)(20 21)(23 24)(29 30)(32 33)(38 39)(41 42)(47 48)(50 51)(56 57)(59 60)(65 66)(68 69)(74 75)(77 78) 0 
15 648 (2 3)(5 6)(7 8 9)(11 12)(14 15)(16 17 18)(20 21)(23 24)(25 26 27)(29 30)(32 33)(34 35 36)(38 39)(41 42)(43 44 45)(47 48)(50 51)(52 53 54)(55 64 73)(56 66 74 57 65 75)(58 67 76)(59 69 77 60 68 78)(61 71 81)(62 72 79)(63 70 80) 0 
16 324 (2 3)(5 6)(11 12)(14 15)(20 21)(23 24)(29 30)(32 33)(38 39)(41 42)(47 48)(50 51)(55 73 64)(56 75 65 57 74 66)(58 76 67)(59 78 68 60 77 69)(61 79 70)(62 80 71)(63 81 72) 0 
17 108 (2 3)(5 6)(7 8 9)(11 12)(14 15)(16 17 18)(20 21)(23 24)(25 26 27)(29 30)(32 33)(34 35 36)(38 39)(41 42)(43 44 45)(47 48)(50 51)(52 53 54)(56 57)(59 60)(61 62 63)(65 66)(68 69)(70 71 72)(74 75)(77 78)(79 80 81) 0 
18 1296 (2 3)(5 6)(7 8 9)(11 12)(14 15)(16 17 18)(20 21)(23 24)(25 26 27)(28 37 46)(29 39 47 30 38 48)(31 40 49)(32 42 50 33 41 51)(34 44 54)(35 45 52)(36 43 53)(55 64 73)(56 66 74 57 65 75)(58 67 76)(59 69 77 60 68 78)(61 71 81)(62 72 79)(63 70 80) 0 
19 648 (2 3)(5 6)(11 12)(14 15)(20 21)(23 24)(28 37 46)(29 39 47 30 38 48)(31 40 49)(32 42 50 33 41 51)(34 43 52)(35 44 53)(36 45 54)(55 73 64)(56 75 65 57 74 66)(58 76 67)(59 78 68 60 77 69)(61 79 70)(62 80 71)(63 81 72) 0 
20 864 (1 10 19)(2 12 20 3 11 21)(4 13 22)(5 15 23 6 14 24)(7 18 26)(8 16 27)(9 17 25)(28 37 46)(29 39 47 30 38 48)(31 40 49)(32 42 50 33 41 51)(34 45 53)(35 43 54)(36 44 52)(55 64 73)(56 66 74 57 65 75)(58 67 76)(59 69 77 60 68 78)(61 72 80)(62 70 81)(63 71 79) 0 
21 432 (1 10 19)(2 12 20 3 11 21)(4 13 22)(5 15 23 6 14 24)(7 16 25)(8 17 26)(9 18 27)(28 37 46)(29 39 47 30 38 48)(31 40 49)(32 42 50 33 41 51)(34 43 52)(35 44 53)(36 45 54)(55 73 64)(56 75 65 57 74 66)(58 76 67)(59 78 68 60 77 69)(61 79 70)(62 80 71)(63 81 72) 0 
22 5184 (1 31 61)(2 32 62)(3 33 63)(4 34 55)(5 35 56)(6 36 57)(7 28 58)(8 29 59)(9 30 60)(10 40 70)(11 41 71)(12 42 72)(13 43 64)(14 44 65)(15 45 66)(16 37 67)(17 38 68)(18 39 69)(19 49 79)(20 50 80)(21 51 81)(22 52 73)(23 53 74)(24 54 75)(25 46 76)(26 47 77)(27 48 78) 323928 
23 20736 (1 31 71 11 41 81 21 51 61)(2 32 72 12 42 79 19 49 62)(3 33 70 10 40 80 20 50 63)(4 35 65 14 45 75 24 52 55)(5 36 66 15 43 73 22 53 56)(6 34 64 13 44 74 23 54 57)(7 28 67 17 38 77 27 48 60)(8 29 68 18 39 78 25 46 58)(9 30 69 16 37 76 26 47 59) 162 
24 20736 (1 31 79 19 49 70 10 40 61)(2 32 80 20 50 71 11 41 62)(3 33 81 21 51 72 12 42 63)(4 34 73 22 52 64 13 43 55)(5 35 74 23 53 65 14 44 56)(6 36 75 24 54 66 15 45 57)(7 28 76 25 46 67 16 37 58)(8 29 77 26 47 68 17 38 59)(9 30 78 27 48 69 18 39 60) 288 
25 144 (1 55 28)(2 56 29)(3 57 30)(4 58 31)(5 59 32)(6 60 33)(7 61 34)(8 62 35)(9 63 36)(10 64 37)(11 65 38)(12 66 39)(13 67 40)(14 68 41)(15 69 42)(16 70 43)(17 71 44)(18 72 45)(19 73 46)(20 74 47)(21 75 48)(22 76 49)(23 77 50)(24 78 51)(25 79 52)(26 80 53)(27 81 54) 14837760 
26 1728 (1 64 37 10 73 46 19 55 28)(2 65 38 11 74 47 20 56 29)(3 66 39 12 75 48 21 57 30)(4 67 40 13 76 49 22 58 31)(5 68 41 14 77 50 23 59 32)(6 69 42 15 78 51 24 60 33)(7 71 45 16 80 54 25 62 36)(8 72 43 17 81 52 26 63 34)(9 70 44 18 79 53 27 61 35) 2592 
27 288 (1 73 46 19 64 37 10 55 28)(2 74 47 20 65 38 11 56 29)(3 75 48 21 66 39 12 57 30)(4 76 49 22 67 40 13 58 31)(5 77 50 23 68 41 14 59 32)(6 78 51 24 69 42 15 60 33)(7 79 52 25 70 43 16 61 34)(8 80 53 26 71 44 17 62 35)(9 81 54 27 72 45 18 63 36) 5184 
28 864 (1 55 28)(2 56 29)(3 57 30)(4 58 31)(5 59 32)(6 60 33)(7 62 36)(8 63 34)(9 61 35)(10 64 37)(11 65 38)(12 66 39)(13 67 40)(14 68 41)(15 69 42)(16 71 45)(17 72 43)(18 70 44)(19 73 46)(20 74 47)(21 75 48)(22 76 49)(23 77 50)(24 78 51)(25 80 54)(26 81 52)(27 79 53) 2085120 
29 3456 (1 64 37 10 73 46 19 55 28)(2 65 38 11 74 47 20 56 29)(3 66 39 12 75 48 21 57 30)(4 68 42 13 77 51 22 59 33)(5 69 40 14 78 49 23 60 31)(6 67 41 15 76 50 24 58 32)(7 71 45 16 80 54 25 62 36)(8 72 43 17 81 52 26 63 34)(9 70 44 18 79 53 27 61 35) 1296 
30 1728 (1 55 28)(2 56 29)(3 57 30)(4 59 33)(5 60 31)(6 58 32)(7 62 36)(8 63 34)(9 61 35)(10 64 37)(11 65 38)(12 66 39)(13 68 42)(14 69 40)(15 67 41)(16 71 45)(17 72 43)(18 70 44)(19 73 46)(20 74 47)(21 75 48)(22 77 51)(23 78 49)(24 76 50)(25 80 54)(26 81 52)(27 79 53) 294912 
31 2304 (1 74 48 19 65 39 10 56 30)(2 75 46 20 66 37 11 57 28)(3 73 47 21 64 38 12 55 29)(4 77 51 22 68 42 13 59 33)(5 78 49 23 69 40 14 60 31)(6 76 50 24 67 41 15 58 32)(7 80 54 25 71 45 16 62 36)(8 81 52 26 72 43 17 63 34)(9 79 53 27 70 44 18 61 35) 648 
32 1152 (1 56 30)(2 57 28)(3 55 29)(4 59 33)(5 60 31)(6 58 32)(7 63 35)(8 61 36)(9 62 34)(10 65 39)(11 66 37)(12 64 38)(13 68 42)(14 69 40)(15 67 41)(16 72 44)(17 70 45)(18 71 43)(19 74 48)(20 75 46)(21 73 47)(22 77 51)(23 78 49)(24 76 50)(25 81 53)(26 79 54)(27 80 52) 6342480 
33 3888 (1 55 28)(2 56 29)(3 57 30)(4 58 31)(5 60 32 6 59 33)(7 61 34)(8 63 35 9 62 36)(10 73 37)(11 74 38)(12 75 39)(13 76 40)(14 78 41 15 77 42)(16 79 43)(17 81 44 18 80 45)(19 64 46)(20 65 47)(21 66 48)(22 67 49)(23 69 50 24 68 51)(25 70 52)(26 72 53 27 71 54) 0 
34 7776 (1 64 46 19 73 37 10 55 28)(2 65 47 20 74 38 11 56 29)(3 66 48 21 75 39 12 57 30)(4 67 49 22 76 40 13 58 31)(5 69 50 24 77 42 14 60 32 6 68 51 23 78 41 15 59 33)(7 71 52 26 79 44 16 62 34 8 70 53 25 80 43 17 61 35)(9 72 54 27 81 45 18 63 36) 0 
35 15552 (1 65 48 19 74 39 10 56 30)(2 66 46 20 75 37 11 57 28)(3 64 47 21 73 38 12 55 29)(4 67 49 22 76 40 13 58 31)(5 69 50 24 77 42 14 60 32 6 68 51 23 78 41 15 59 33)(7 70 52 25 79 43 16 61 34)(8 72 53 27 80 45 17 63 35 9 71 54 26 81 44 18 62 36) 0 
36 7776 (1 56 30)(2 57 28)(3 55 29)(4 58 31)(5 60 32 6 59 33)(7 63 34 9 61 36)(8 62 35)(10 74 39)(11 75 37)(12 73 38)(13 76 40)(14 78 41 15 77 42)(16 81 43 18 79 45)(17 80 44)(19 65 48)(20 66 46)(21 64 47)(22 67 49)(23 69 50 24 68 51)(25 72 52 27 70 54)(26 71 53) 0 
37 1296 (1 34)(2 43)(3 52)(4 61)(5 70)(6 79)(8 16)(9 25)(10 35)(11 44)(12 53)(13 62)(14 71)(15 80)(18 26)(19 36)(20 45)(21 54)(22 63)(23 72)(24 81)(29 37)(30 46)(31 55)(32 64)(33 73)(39 47)(40 56)(41 65)(42 74)(49 57)(50 66)(51 75)(59 67)(60 76)(69 77) 30258432 
38 15552 (1 35 10 36 19 34)(2 44 11 45 20 43)(3 53 12 54 21 52)(4 71 14 81 24 61)(5 80 15 63 22 70)(6 62 13 72 23 79)(7 8 17 18 27 25)(9 26 16)(29 37)(30 46)(31 64 32 73 33 55)(39 47)(40 65 41 74 42 56)(49 66 50 75 51 57)(58 67 68 77 78 60)(59 76 69) 0 
39 7776 (1 34)(2 43)(3 52)(4 79 6 70 5 61)(8 16)(9 25)(10 35)(11 44)(12 53)(13 80 15 71 14 62)(18 26)(19 36)(20 45)(21 54)(22 81 24 72 23 63)(29 37)(30 46)(31 73 33 64 32 55)(39 47)(40 74 42 65 41 56)(49 75 51 66 50 57)(58 76 78 69 68 59)(60 67 77) 0 
40 10368 (1 44 11 54 21 34)(2 53 12 36 19 43)(3 35 10 45 20 52)(4 71 14 81 24 61)(5 80 15 63 22 70)(6 62 13 72 23 79)(7 8 17 18 27 25)(9 26 16)(28 37 38 47 48 30)(29 46 39)(31 64 41 74 51 57)(32 73 42 56 49 66)(33 55 40 65 50 75)(58 67 68 77 78 60)(59 76 69) 1854 
41 34992 (1 34)(2 52 3 43)(4 61)(5 79)(6 70)(8 16 9 25)(10 36 19 35)(11 54 21 44)(12 45 20 53)(13 63 22 62)(14 81 23 80)(15 72 24 71)(17 18 27 26)(29 46 30 37)(31 55)(32 73)(33 64)(38 47 48 39)(40 56 49 57)(41 74 50 75)(42 65 51 66)(59 76)(60 67)(68 78) 0 
42 69984 (1 35 10 34)(2 53 12 43)(3 44 11 52)(4 71 15 79 5 62 13 70 6 80 14 61)(7 8 17 16)(9 26 18 25)(19 36)(20 54 21 45)(22 72 24 81 23 63)(29 46 30 37)(31 64 33 73 32 55)(38 47 48 39)(40 65 51 75 41 56 49 66 42 74 50 57)(58 67 69 78 77 59)(60 76 68) 0 
43 93312 (1 55 61 34 31 4)(2 64 62 43 32 13)(3 73 63 52 33 22)(5 10 56 70 35 40)(6 19 57 79 36 49)(7 28 58)(8 37 59 16 29 67)(9 46 60 25 30 76)(11 65 71 44 41 14)(12 74 72 53 42 23)(15 20 66 80 45 50)(17 38 68)(18 47 69 26 39 77)(21 75 81 54 51 24)(27 48 78) 288 
44 186624 (1 64 72 54 51 24 21 57 62 44 41 14 11 74 79 34 31 4)(2 73 70 36 49 6 19 66 63 53 42 23 12 56 80 43 32 13)(3 55 71 45 50 15 20 75 61 35 40 5 10 65 81 52 33 22)(7 28 67 9 46 69 27 48 60 26 39 59 17 38 77 16 29 76)(8 37 68 18 47 78 25 30 58) 0 
45 81 (8 9)(17 18)(26 27)(35 36)(44 45)(53 54)(62 63)(64 73)(65 74)(66 75)(67 76)(68 77)(69 78)(70 79)(71 81)(72 80) 0 
46 648 (4 5 6)(8 9)(13 14 15)(17 18)(22 23 24)(26 27)(31 32 33)(35 36)(40 41 42)(44 45)(49 50 51)(53 54)(58 59 60)(62 63)(64 73)(65 74)(66 75)(67 77 69 76 68 78)(70 79)(71 81)(72 80) 0 
47 1296 (4 5 6)(8 9)(13 14 15)(17 18)(22 23 24)(26 27)(28 37 46)(29 38 47)(30 39 48)(31 41 51)(32 42 49)(33 40 50)(34 43 52)(35 45 53 36 44 54)(58 59 60)(62 63)(64 73)(65 74)(66 75)(67 77 69 76 68 78)(70 79)(71 81)(72 80) 0 
48 648 (1 2 3)(4 5 6)(8 9)(10 11 12)(13 14 15)(17 18)(19 20 21)(22 23 24)(26 27)(28 29 30)(31 32 33)(35 36)(37 38 39)(40 41 42)(44 45)(46 47 48)(49 50 51)(53 54)(55 65 57 64 56 66)(58 68 60 67 59 69)(61 70)(62 72)(63 71)(73 74 75)(76 77 78)(80 81) 0 
49 2592 (1 2 3)(4 5 6)(8 9)(10 11 12)(13 14 15)(17 18)(19 20 21)(22 23 24)(26 27)(28 38 48)(29 39 46)(30 37 47)(31 41 51)(32 42 49)(33 40 50)(34 43 52)(35 45 53 36 44 54)(55 65 57 64 56 66)(58 68 60 67 59 69)(61 70)(62 72)(63 71)(73 74 75)(76 77 78)(80 81) 0 
50 1296 (1 11 21)(2 12 19)(3 10 20)(4 14 24)(5 15 22)(6 13 23)(7 17 25 8 16 26)(9 18 27)(28 38 48)(29 39 46)(30 37 47)(31 41 51)(32 42 49)(33 40 50)(34 44 52 35 43 53)(36 45 54)(55 65 57 64 56 66)(58 68 60 67 59 69)(61 71)(62 70)(63 72)(73 74 75)(76 77 78)(79 80) 0 
51 486 (2 3)(5 6)(8 9)(11 12)(14 15)(17 18)(20 21)(23 24)(26 27)(29 30)(32 33)(35 36)(38 39)(41 42)(44 45)(47 48)(50 51)(53 54)(56 57)(59 60)(62 63)(64 73)(65 75)(66 74)(67 76)(68 78)(69 77)(70 79)(71 81)(72 80) 0 
52 1944 (2 3)(5 6)(8 9)(11 12)(14 15)(17 18)(20 21)(23 24)(26 27)(28 37 46)(29 39 47 30 38 48)(31 40 49)(32 42 50 33 41 51)(34 43 52)(35 45 53 36 44 54)(56 57)(59 60)(62 63)(64 73)(65 75)(66 74)(67 76)(68 78)(69 77)(70 79)(71 81)(72 80) 0 
53 1944 (1 10 19)(2 12 20 3 11 21)(4 13 22)(5 15 23 6 14 24)(7 17 25 8 16 26)(9 18 27)(28 37 46)(29 39 47 30 38 48)(31 40 49)(32 42 50 33 41 51)(34 44 52 35 43 53)(36 45 54)(56 57)(59 60)(61 62)(64 73)(65 75)(66 74)(67 76)(68 78)(69 77)(70 80)(71 79)(72 81) 0 
54 729 (2 3)(5 6)(8 9)(10 19)(11 21)(12 20)(13 22)(14 24)(15 23)(16 25)(17 27)(18 26)(29 30)(32 33)(35 36)(37 46)(38 48)(39 47)(40 49)(41 51)(42 50)(43 52)(44 54)(45 53)(56 57)(59 60)(62 63)(64 73)(65 75)(66 74)(67 76)(68 78)(69 77)(70 79)(71 81)(72 80) 0 
55 46656 (1 31 61)(2 32 62 3 33 63)(4 34 55)(5 35 57 6 36 56)(7 28 58)(8 30 60 9 29 59)(10 40 70 19 49 79)(11 41 71 21 51 81)(12 42 72 20 50 80)(13 43 64 22 52 73)(14 44 66 24 54 74)(15 45 65 23 53 75)(16 37 67 25 46 76)(17 39 69 27 47 77)(18 38 68 26 48 78) 0 
56 3888 (1 55 28)(2 56 29)(3 57 30)(4 58 31)(5 59 32)(6 60 33)(7 61 34)(8 63 35 9 62 36)(10 64 46 19 73 37)(11 65 47 20 74 38)(12 66 48 21 75 39)(13 67 49 22 76 40)(14 68 50 23 77 41)(15 69 51 24 78 42)(16 70 52 25 79 43)(17 72 53 27 80 45)(18 71 54 26 81 44) 0 
57 15552 (1 55 28)(2 56 29)(3 57 30)(4 59 33)(5 60 31)(6 58 32)(7 61 34)(8 63 35 9 62 36)(10 64 46 19 73 37)(11 65 47 20 74 38)(12 66 48 21 75 39)(13 68 51 22 77 42)(14 69 49 23 78 40)(15 67 50 24 76 41)(16 70 52 25 79 43)(17 72 53 27 80 45)(18 71 54 26 81 44) 0 
58 15552 (1 65 48 19 56 30)(2 66 46 20 57 28)(3 64 47 21 55 29)(4 68 51 22 59 33)(5 69 49 23 60 31)(6 67 50 24 58 32)(7 70 52 25 61 34)(8 72 53 27 62 36)(9 71 54 26 63 35)(10 74 39)(11 75 37)(12 73 38)(13 77 42)(14 78 40)(15 76 41)(16 79 43)(17 81 44 18 80 45) 0 
59 11664 (1 55 28)(2 57 29 3 56 30)(4 58 31)(5 60 32 6 59 33)(7 61 34)(8 63 35 9 62 36)(10 64 46 19 73 37)(11 66 47 21 74 39)(12 65 48 20 75 38)(13 67 49 22 76 40)(14 69 50 24 77 42)(15 68 51 23 78 41)(16 70 52 25 79 43)(17 72 53 27 80 45)(18 71 54 26 81 44) 0 
60 324 (1 4)(2 5)(3 6)(10 13)(11 14)(12 15)(19 22)(20 23)(21 24)(28 58)(29 59)(30 60)(31 55)(32 56)(33 57)(34 61)(35 62)(36 63)(37 67)(38 68)(39 69)(40 64)(41 65)(42 66)(43 70)(44 71)(45 72)(46 76)(47 77)(48 78)(49 73)(50 74)(51 75)(52 79)(53 80)(54 81) 0 
61 2592 (1 4)(2 5)(3 6)(7 8 9)(10 13)(11 14)(12 15)(16 17 18)(19 22)(20 23)(21 24)(25 26 27)(28 67 37 76 46 58)(29 68 38 77 47 59)(30 69 39 78 48 60)(31 64 40 73 49 55)(32 65 41 74 50 56)(33 66 42 75 51 57)(34 71 45 79 53 63)(35 72 43 80 54 61)(36 70 44 81 52 62) 0 
62 1296 (1 4)(2 5)(3 6)(10 13)(11 14)(12 15)(19 22)(20 23)(21 24)(28 76 46 67 37 58)(29 77 47 68 38 59)(30 78 48 69 39 60)(31 73 49 64 40 55)(32 74 50 65 41 56)(33 75 51 66 42 57)(34 79 52 70 43 61)(35 80 53 71 44 62)(36 81 54 72 45 63) 0 
63 1296 (1 4)(2 5)(3 6)(7 8 9)(10 13)(11 14)(12 15)(16 17 18)(19 22)(20 23)(21 24)(25 26 27)(28 58)(29 59)(30 60)(31 55)(32 56)(33 57)(34 62 36 61 35 63)(37 67)(38 68)(39 69)(40 64)(41 65)(42 66)(43 71 45 70 44 72)(46 76)(47 77)(48 78)(49 73)(50 74)(51 75)(52 80 54 79 53 81) 0 
64 5184 (1 5 2 6 3 4)(7 8 9)(10 14 11 15 12 13)(16 17 18)(19 23 20 24 21 22)(25 26 27)(28 68 38 78 48 58)(29 69 39 76 46 59)(30 67 37 77 47 60)(31 64 41 74 51 57)(32 65 42 75 49 55)(33 66 40 73 50 56)(34 71 45 79 53 63)(35 72 43 80 54 61)(36 70 44 81 52 62) 0 
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66 2592 (1 5 2 6 3 4)(7 8 9)(10 14 11 15 12 13)(16 17 18)(19 23 20 24 21 22)(25 26 27)(28 59 29 60 30 58)(31 55 32 56 33 57)(34 62 36 61 35 63)(37 68 38 69 39 67)(40 64 41 65 42 66)(43 71 45 70 44 72)(46 77 47 78 48 76)(49 73 50 74 51 75)(52 80 54 79 53 81) 0 
67 1296 (1 13 19 4 10 22)(2 14 20 5 11 23)(3 15 21 6 12 24)(7 17 27)(8 18 25)(9 16 26)(28 58)(29 59)(30 60)(31 55)(32 56)(33 57)(34 62 36 61 35 63)(37 67)(38 68)(39 69)(40 64)(41 65)(42 66)(43 71 45 70 44 72)(46 76)(47 77)(48 78)(49 73)(50 74)(51 75)(52 80 54 79 53 81) 0 
68 5184 (1 13 19 4 10 22)(2 14 20 5 11 23)(3 15 21 6 12 24)(7 18 26)(8 16 27)(9 17 25)(28 67 37 76 46 58)(29 68 38 77 47 59)(30 69 39 78 48 60)(31 64 40 73 49 55)(32 65 41 74 50 56)(33 66 42 75 51 57)(34 72 44 79 54 62)(35 70 45 80 52 63)(36 71 43 81 53 61) 0 
69 5184 (1 14 20 6 12 22)(2 15 21 4 10 23)(3 13 19 5 11 24)(7 18 26)(8 16 27)(9 17 25)(28 68 38 78 48 58)(29 69 39 76 46 59)(30 67 37 77 47 60)(31 64 41 74 51 57)(32 65 42 75 49 55)(33 66 40 73 50 56)(34 72 44 79 54 62)(35 70 45 80 52 63)(36 71 43 81 53 61) 0 
70 5832 (1 4)(2 6 3 5)(8 9)(10 13)(11 15 12 14)(17 18)(19 22)(20 24 21 23)(26 27)(28 58)(29 60 30 59)(31 55)(32 56 33 57)(34 61)(35 63)(36 62)(37 76)(38 78 39 77)(40 73)(41 74 42 75)(43 79)(44 81)(45 80)(46 67)(47 69 48 68)(49 64)(50 65 51 66)(52 70)(53 72)(54 71) 0 
71 11664 (1 4)(2 6 3 5)(7 8)(10 13)(11 15 12 14)(16 17)(19 22)(20 24 21 23)(25 26)(28 67 46 76 37 58)(29 69 48 77 38 60 30 68 47 78 39 59)(31 64 49 73 40 55)(32 65 51 75 41 56 33 66 50 74 42 57)(34 71 52 80 43 62)(35 70 53 79 44 61)(36 72 54 81 45 63) 0 
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73 23328 (1 13 19 4 10 22)(2 15 21 5 11 24 3 14 20 6 12 23)(7 18 25 9 16 27)(8 17 26)(28 67 46 76 37 58)(29 69 48 77 38 60 30 68 47 78 39 59)(31 64 49 73 40 55)(32 65 51 75 41 56 33 66 50 74 42 57)(34 72 52 81 43 63)(35 71 53 80 44 62)(36 70 54 79 45 61) 0 
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80 11664 (1 4)(2 5)(3 6)(7 8)(10 22)(11 23)(12 24)(13 19)(14 20)(15 21)(16 26)(17 25)(18 27)(28 67 46 76 37 58)(29 68 47 77 38 59)(30 69 48 78 39 60)(31 64 49 73 40 55)(32 65 50 74 41 56)(33 66 51 75 42 57)(34 71 52 80 43 62)(35 70 53 79 44 61)(36 72 54 81 45 63) 0 
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85 139968 (1 34 6 61 3 52 4 70 2 43 5 79)(8 16 9 25)(10 36 24 62 12 54 22 71 11 45 23 80)(13 72 20 44 14 81 19 35 15 63 21 53)(17 18 27 26)(28 33 60 57 48 49 67 65 38 41 77 73)(29 42 59 75 46 31 69 56 39 50 76 64)(30 51 58 66 47 40 68 74 37 32 78 55) 0 
86 69984 (1 36 24 79)(2 45 23 70)(3 54 22 61)(4 63 21 52)(5 72 20 43)(6 81 19 34)(7 9 27 25)(8 18 26 16)(10 35 15 80)(11 44 14 71)(12 53 13 62)(28 33 78 73)(29 42 77 64)(30 51 76 55)(31 60 75 46)(32 69 74 37)(38 41 68 65)(39 50 67 56)(40 59 66 47)(48 49 58 57) 13056 
87 69984 (1 34 5 70 2 52 4 79)(3 43 6 61)(8 16)(9 25)(10 35 14 71 11 53 13 80)(12 44 15 62)(18 26)(19 36 23 72 20 54 22 81)(21 45 24 63)(28 32 68 65 47 49 76 73)(29 50 67 74 46 31 77 64)(30 41 69 56 48 40 78 55)(33 59 66 38 51 58 75 37)(39 42 60 57) 0 
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99 5832 (1 2 3)(4 6)(8 9)(10 20 12 19 11 21)(13 24)(14 23)(15 22)(16 25)(17 27)(18 26)(28 74 30 73 29 75)(31 78)(32 77)(33 76)(34 79)(35 81)(36 80)(37 56 39 55 38 57)(40 60)(41 59)(42 58)(43 61)(44 63)(45 62)(46 65 48 64 47 66)(49 69)(50 68)(51 67)(52 70)(53 72)(54 71) 0 
100 11664 (1 2 3)(4 6)(7 8)(10 20 12 19 11 21)(13 24)(14 23)(15 22)(16 26)(17 25)(18 27)(28 56 39 64 47 75)(29 57 37 65 48 73)(30 55 38 66 46 74)(31 60 40 69 49 78)(32 59 41 68 50 77)(33 58 42 67 51 76)(34 62 43 71 52 80)(35 61 44 70 53 79)(36 63 45 72 54 81) 0 
101 648 (4 5 6)(13 14 15)(22 23 24)(28 73)(29 74)(30 75)(31 77 33 76 32 78)(34 79)(35 80)(36 81)(37 64 46 55)(38 65 47 56)(39 66 48 57)(40 68 51 58 41 69 49 59 42 67 50 60)(43 70 52 61)(44 71 53 62)(45 72 54 63) 0 
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104 864 (1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(13 14 15)(16 17 18)(19 20 21)(22 23 24)(25 26 27)(28 65 48 73 29 66 46 74 30 64 47 75)(31 68 51 76 32 69 49 77 33 67 50 78)(34 71 54 79 35 72 52 80 36 70 53 81)(37 56 39 55 38 57)(40 59 42 58 41 60)(43 62 45 61 44 63) 0 
105 2592 (1 10 19)(2 11 20)(3 12 21)(4 14 24)(5 15 22)(6 13 23)(7 17 27)(8 18 25)(9 16 26)(28 73)(29 74)(30 75)(31 77 33 76 32 78)(34 80 36 79 35 81)(37 64 46 55)(38 65 47 56)(39 66 48 57)(40 68 51 58 41 69 49 59 42 67 50 60)(43 71 54 61 44 72 52 62 45 70 53 63) 0 
106 1296 (1 10 19)(2 11 20)(3 12 21)(4 14 24)(5 15 22)(6 13 23)(7 16 25)(8 17 26)(9 18 27)(28 64 46 73)(29 65 47 74)(30 66 48 75)(31 68 51 76 32 69 49 77 33 67 50 78)(34 70 52 79)(35 71 53 80)(36 72 54 81)(37 55)(38 56)(39 57)(40 59 42 58 41 60)(43 61)(44 62)(45 63) 0 
107 216 (1 10 19)(2 11 20)(3 12 21)(4 13 22)(5 14 23)(6 15 24)(7 16 25)(8 17 26)(9 18 27)(28 64 46 73)(29 65 47 74)(30 66 48 75)(31 67 49 76)(32 68 50 77)(33 69 51 78)(34 70 52 79)(35 71 53 80)(36 72 54 81)(37 55)(38 56)(39 57)(40 58)(41 59)(42 60)(43 61)(44 62)(45 63) 0 
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113 31104 (1 31 26 38 14 54 3 33 25 37 13 53 2 32 27 39 15 52)(4 35 20 41 18 48 6 34 19 40 17 47 5 36 21 42 16 46)(7 28 22 44 11 50 9 30 24 43 10 49 8 29 23 45 12 51)(55 76 62 74 59 81 57 78 61 73 58 80 56 77 63 75 60 79)(64 67 71 65 68 72 66 69 70) 0 
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115 15552 (1 49 8 47 5 54 3 51 7 46 4 53 2 50 9 48 6 52)(10 40 17 38 14 45 12 42 16 37 13 44 11 41 18 39 15 43)(19 31 26 29 23 36 21 33 25 28 22 35 20 32 27 30 24 34)(55 76 62 74 59 81 57 78 61 73 58 80 56 77 63 75 60 79)(64 67 71 65 68 72 66 69 70) 0 
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117 31104 (1 31 27 48 5 35 20 51 7 28 22 54 3 32 26 47 6 34 19 49 9 30 23 53 2 33 25 46 4 36 21 50 8 29 24 52)(10 40 18 39 14 44 11 42 16 37 13 45 12 41 17 38 15 43)(55 67 81 57 68 80 56 69 79)(58 72 75 59 71 74 60 70 73)(61 64 76 63 66 77 62 65 78) 0 
118 15552 (1 31 25 46 4 34 19 49 7 28 22 52)(2 33 26 47 6 35 20 51 8 29 24 53)(3 32 27 48 5 36 21 50 9 30 23 54)(10 40 16 37 13 43)(11 42 17 38 15 44)(12 41 18 39 14 45)(55 76 70)(56 78 71)(57 77 72)(58 79 64)(59 81 66)(60 80 65)(61 73 67)(62 74 69)(63 75 68) 0 
119 15552 (1 31 26 47 6 36 21 50 7 28 22 53 2 33 27 48 5 34 19 49 8 29 24 54 3 32 25 46 4 35 20 51 9 30 23 52)(10 40 17 38 15 45 12 41 16 37 13 44 11 42 18 39 14 43)(55 58 62 56 60 63 57 59 61)(64 67 71 65 69 72 66 68 70)(73 76 80 74 78 81 75 77 79) 0 
120 7776 (1 31 25 46 4 34 19 49 7 28 22 52)(2 33 26 47 6 35 20 51 8 29 24 53)(3 32 27 48 5 36 21 50 9 30 23 54)(10 40 16 37 13 43)(11 42 17 38 15 44)(12 41 18 39 14 45)(55 58 61)(56 60 62)(57 59 63)(64 67 70)(65 69 71)(66 68 72)(73 76 79)(74 78 80)(75 77 81) 0 
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130 648 (1 10 19)(2 11 20)(3 12 21)(4 15 22 6 13 24)(5 14 23)(7 16 25)(8 17 26)(9 18 27)(28 73)(29 74)(30 75)(31 78)(32 77)(33 76)(34 79)(35 80)(36 81)(37 64)(38 65)(39 66)(40 69)(41 68)(42 67)(43 70)(44 71)(45 72)(46 55)(47 56)(48 57)(49 60)(50 59)(51 58)(52 61)(53 62)(54 63) 0 
131 5184 (1 11 21)(2 12 19)(3 10 20)(4 15 22 6 13 24)(5 14 23)(7 17 27)(8 18 25)(9 16 26)(28 56 48 64 38 75)(29 57 46 65 39 73)(30 55 47 66 37 74)(31 60 49 69 40 78)(32 59 50 68 41 77)(33 58 51 67 42 76)(34 62 54 70 44 81)(35 63 52 71 45 79)(36 61 53 72 43 80) 0 
132 2592 (1 11 21)(2 12 19)(3 10 20)(4 15 22 6 13 24)(5 14 23)(7 17 27)(8 18 25)(9 16 26)(28 74 30 73 29 75)(31 78)(32 77)(33 76)(34 80 36 79 35 81)(37 65 39 64 38 66)(40 69)(41 68)(42 67)(43 71 45 70 44 72)(46 56 48 55 47 57)(49 60)(50 59)(51 58)(52 62 54 61 53 63) 0 
133 1944 (2 3)(4 6)(8 9)(11 12)(13 15)(17 18)(20 21)(22 24)(26 27)(28 64 46 55 37 73)(29 66 47 57 38 75)(30 65 48 56 39 74)(31 69 49 60 40 78)(32 68 50 59 41 77)(33 67 51 58 42 76)(34 70 52 61 43 79)(35 72 53 63 44 81)(36 71 54 62 45 80) 0 
134 972 (2 3)(4 6)(7 8)(11 12)(13 15)(16 17)(20 21)(22 24)(25 26)(28 73)(29 75)(30 74)(31 78)(32 77)(33 76)(34 80)(35 79)(36 81)(37 55)(38 57)(39 56)(40 60)(41 59)(42 58)(43 62)(44 61)(45 63)(46 64)(47 66)(48 65)(49 69)(50 68)(51 67)(52 71)(53 70)(54 72) 449445888 
135 3888 (1 10 19)(2 12 20 3 11 21)(4 15 22 6 13 24)(5 14 23)(7 17 25 8 16 26)(9 18 27)(28 64 46 55 37 73)(29 66 47 57 38 75)(30 65 48 56 39 74)(31 69 49 60 40 78)(32 68 50 59 41 77)(33 67 51 58 42 76)(34 71 52 62 43 80)(35 70 53 61 44 79)(36 72 54 63 45 81) 27648 
136 1944 (1 10 19)(2 12 20 3 11 21)(4 15 22 6 13 24)(5 14 23)(7 18 25 9 16 27)(8 17 26)(28 73)(29 75)(30 74)(31 78)(32 77)(33 76)(34 81)(35 80)(36 79)(37 55)(38 57)(39 56)(40 60)(41 59)(42 58)(43 63)(44 62)(45 61)(46 64)(47 66)(48 65)(49 69)(50 68)(51 67)(52 72)(53 71)(54 70) 0 
137 2916 (4 6)(10 19)(11 20)(12 21)(13 24)(14 23)(15 22)(16 25)(17 26)(18 27)(28 73)(29 74)(30 75)(31 78)(32 77)(33 76)(34 79)(35 80)(36 81)(37 64 46 55)(38 65 47 56)(39 66 48 57)(40 69 49 60)(41 68 50 59)(42 67 51 58)(43 70 52 61)(44 71 53 62)(45 72 54 63) 0 
138 11664 (4 6)(7 8 9)(10 19)(11 20)(12 21)(13 24)(14 23)(15 22)(16 26 18 25 17 27)(28 55 37 73)(29 56 38 74)(30 57 39 75)(31 60 40 78)(32 59 41 77)(33 58 42 76)(34 62 45 79 35 63 43 80 36 61 44 81)(46 64)(47 65)(48 66)(49 69)(50 68)(51 67)(52 71 54 70 53 72) 0 
139 11664 (1 2 3)(4 6)(7 8 9)(10 20 12 19 11 21)(13 24)(14 23)(15 22)(16 26 18 25 17 27)(28 65 48 73 29 66 46 74 30 64 47 75)(31 69 49 78)(32 68 50 77)(33 67 51 76)(34 71 54 79 35 72 52 80 36 70 53 81)(37 56 39 55 38 57)(40 60)(41 59)(42 58)(43 62 45 61 44 63) 0 
140 8748 (2 3)(4 6)(8 9)(10 19)(11 21)(12 20)(13 24)(14 23)(15 22)(16 25)(17 27)(18 26)(28 64 37 73)(29 66 38 75)(30 65 39 74)(31 69 40 78)(32 68 41 77)(33 67 42 76)(34 70 43 79)(35 72 44 81)(36 71 45 80)(46 55)(47 57)(48 56)(49 60)(50 59)(51 58)(52 61)(53 63)(54 62) 0 
141 69984 (1 31 27 48 6 34 19 49 9 30 24 52)(2 32 26 47 5 35 20 50 8 29 23 53)(3 33 25 46 4 36 21 51 7 28 22 54)(10 40 18 39 15 43)(11 41 17 38 14 44)(12 42 16 37 13 45)(55 76 63 75 60 79)(56 77 62 74 59 80)(57 78 61 73 58 81)(64 67 72 66 69 70)(65 68 71) 0 
142 31104 (1 31 26 38 15 52)(2 33 25 37 13 53)(3 32 27 39 14 54)(4 35 20 42 16 46)(5 36 21 41 18 48)(6 34 19 40 17 47)(7 28 22 44 11 51)(8 29 24 43 10 49)(9 30 23 45 12 50)(55 67 80 56 69 79)(57 68 81)(58 71 74 60 70 73)(59 72 75)(61 64 76 62 65 78)(63 66 77) 6480 
143 15552 (1 31 25 37 13 52)(2 33 27 39 14 53)(3 32 26 38 15 54)(4 34 19 40 16 46)(5 35 20 42 18 48)(6 36 21 41 17 47)(7 28 22 43 10 49)(8 29 24 45 12 50)(9 30 23 44 11 51)(55 58 61)(56 60 63 57 59 62)(64 67 70)(65 69 72 66 68 71)(73 76 79)(74 78 81 75 77 80) 1728 
144 15552 (1 49 8 47 6 52)(2 51 7 46 4 53)(3 50 9 48 5 54)(10 40 17 38 15 43)(11 42 16 37 13 44)(12 41 18 39 14 45)(19 31 26 29 24 34)(20 33 25 28 22 35)(21 32 27 30 23 36)(55 67 80 56 69 79)(57 68 81)(58 71 74 60 70 73)(59 72 75)(61 64 76 62 65 78)(63 66 77) 3456 
145 7776 (1 49 7 46 4 52)(2 51 9 48 5 53)(3 50 8 47 6 54)(10 40 16 37 13 43)(11 42 18 39 14 44)(12 41 17 38 15 45)(19 31 25 28 22 34)(20 33 27 30 23 35)(21 32 26 29 24 36)(55 58 61)(56 60 63 57 59 62)(64 67 70)(65 69 72 66 68 71)(73 76 79)(74 78 81 75 77 80) 13824 
146 18 (64 73)(65 74)(66 75)(67 76)(68 77)(69 78)(70 79)(71 80)(72 81) 0 
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148 216 (4 5 6)(7 8 9)(13 14 15)(16 17 18)(22 23 24)(25 26 27)(31 32 33)(34 35 36)(40 41 42)(43 44 45)(49 50 51)(52 53 54)(55 64)(56 65)(57 66)(58 68 60 67 59 69)(61 71 63 70 62 72)(76 77 78)(79 80 81) 0 
149 72 (28 37 46)(29 38 47)(30 39 48)(31 40 49)(32 41 50)(33 42 51)(34 43 52)(35 44 53)(36 45 54)(64 73)(65 74)(66 75)(67 76)(68 77)(69 78)(70 79)(71 80)(72 81) 0 
150 432 (7 8 9)(16 17 18)(25 26 27)(28 37 46)(29 38 47)(30 39 48)(31 40 49)(32 41 50)(33 42 51)(34 44 54)(35 45 52)(36 43 53)(55 64)(56 65)(57 66)(58 67)(59 68)(60 69)(61 71 63 70 62 72)(79 80 81) 0 
151 864 (4 5 6)(7 8 9)(13 14 15)(16 17 18)(22 23 24)(25 26 27)(28 37 46)(29 38 47)(30 39 48)(31 41 51)(32 42 49)(33 40 50)(34 44 54)(35 45 52)(36 43 53)(55 64)(56 65)(57 66)(58 68 60 67 59 69)(61 71 63 70 62 72)(76 77 78)(79 80 81) 0 
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153 576 (1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(13 14 15)(16 17 18)(19 20 21)(22 23 24)(25 26 27)(28 38 48)(29 39 46)(30 37 47)(31 41 51)(32 42 49)(33 40 50)(34 44 54)(35 45 52)(36 43 53)(55 74 57 73 56 75)(58 77 60 76 59 78)(61 80 63 79 62 81)(64 65 66)(67 68 69)(70 71 72) 0 
154 432 (1 10 19)(2 11 20)(3 12 21)(4 13 22)(5 14 23)(6 15 24)(7 17 27)(8 18 25)(9 16 26)(28 37 46)(29 38 47)(30 39 48)(31 40 49)(32 41 50)(33 42 51)(34 44 54)(35 45 52)(36 43 53)(61 62 63)(64 73)(65 74)(66 75)(67 76)(68 77)(69 78)(70 80 72 79 71 81) 0 
155 72 (1 10 19)(2 11 20)(3 12 21)(4 13 22)(5 14 23)(6 15 24)(7 16 25)(8 17 26)(9 18 27)(28 37 46)(29 38 47)(30 39 48)(31 40 49)(32 41 50)(33 42 51)(34 43 52)(35 44 53)(36 45 54)(55 73)(56 74)(57 75)(58 76)(59 77)(60 78)(61 79)(62 80)(63 81) 0 
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163 3888 (1 11 21)(2 12 19)(3 10 20)(4 13 22)(5 15 23 6 14 24)(7 17 25 8 16 26)(9 18 27)(28 29 30)(32 33)(34 35)(37 47 39 46 38 48)(40 49)(41 51)(42 50)(43 53)(44 52)(45 54)(55 65 75)(56 66 73)(57 64 74)(58 67 76)(59 69 77 60 68 78)(61 71 79 62 70 80)(63 72 81) 0 
164 54 (10 19)(11 20)(12 21)(13 22)(14 23)(15 24)(16 25)(17 26)(18 27)(37 46)(38 47)(39 48)(40 49)(41 50)(42 51)(43 52)(44 53)(45 54)(64 73)(65 74)(66 75)(67 76)(68 77)(69 78)(70 79)(71 80)(72 81) 0 
165 324 (7 8 9)(10 19)(11 20)(12 21)(13 22)(14 23)(15 24)(16 26 18 25 17 27)(34 35 36)(37 46)(38 47)(39 48)(40 49)(41 50)(42 51)(43 53 45 52 44 54)(55 64)(56 65)(57 66)(58 67)(59 68)(60 69)(61 71 63 70 62 72)(79 80 81) 0 
166 648 (4 5 6)(7 8 9)(10 19)(11 20)(12 21)(13 23 15 22 14 24)(16 26 18 25 17 27)(31 32 33)(34 35 36)(37 46)(38 47)(39 48)(40 50 42 49 41 51)(43 53 45 52 44 54)(55 64)(56 65)(57 66)(58 68 60 67 59 69)(61 71 63 70 62 72)(76 77 78)(79 80 81) 0 
167 432 (1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 20 12 19 11 21)(13 23 15 22 14 24)(16 26 18 25 17 27)(28 29 30)(31 32 33)(34 35 36)(37 47 39 46 38 48)(40 50 42 49 41 51)(43 53 45 52 44 54)(55 74 57 73 56 75)(58 77 60 76 59 78)(61 80 63 79 62 81)(64 65 66)(67 68 69)(70 71 72) 0 
168 1458 (2 3)(5 6)(10 19)(11 21)(12 20)(13 22)(14 24)(15 23)(16 25)(17 26)(18 27)(29 30)(32 33)(37 46)(38 48)(39 47)(40 49)(41 51)(42 50)(43 52)(44 53)(45 54)(56 57)(59 60)(64 73)(65 75)(66 74)(67 76)(68 78)(69 77)(70 79)(71 80)(72 81) 0 
169 2916 (2 3)(5 6)(7 8 9)(10 19)(11 21)(12 20)(13 22)(14 24)(15 23)(16 26 18 25 17 27)(29 30)(32 33)(34 35 36)(37 46)(38 48)(39 47)(40 49)(41 51)(42 50)(43 53 45 52 44 54)(55 64)(56 66)(57 65)(58 67)(59 69)(60 68)(61 71 63 70 62 72)(74 75)(77 78)(79 80 81) 0 
170 31104 (1 31 61)(2 32 62)(3 33 63)(4 34 55)(5 35 56)(6 36 57)(7 28 58)(8 29 59)(9 30 60)(10 40 70 19 49 79)(11 41 71 20 50 80)(12 42 72 21 51 81)(13 43 64 22 52 73)(14 44 65 23 53 74)(15 45 66 24 54 75)(16 37 67 25 46 76)(17 38 68 26 47 77)(18 39 69 27 48 78) 0 
171 62208 (1 31 71 20 50 63 3 33 70 19 49 62 2 32 72 21 51 61)(4 35 65 23 54 57 6 34 64 22 53 56 5 36 66 24 52 55)(7 28 67 26 47 59 9 30 69 25 46 58 8 29 68 27 48 60)(10 40 80 11 41 81 12 42 79)(13 44 74 14 45 75 15 43 73)(16 37 76 17 38 77 18 39 78) 0 
172 432 (1 55 28)(2 56 29)(3 57 30)(4 58 31)(5 59 32)(6 60 33)(7 61 34)(8 62 35)(9 63 36)(10 64 46 19 73 37)(11 65 47 20 74 38)(12 66 48 21 75 39)(13 67 49 22 76 40)(14 68 50 23 77 41)(15 69 51 24 78 42)(16 70 52 25 79 43)(17 71 53 26 80 44)(18 72 54 27 81 45) 0 
173 2592 (1 64 46 19 55 28)(2 65 47 20 56 29)(3 66 48 21 57 30)(4 67 49 22 58 31)(5 68 50 23 59 32)(6 69 51 24 60 33)(7 71 54 25 62 36)(8 72 52 26 63 34)(9 70 53 27 61 35)(10 73 37)(11 74 38)(12 75 39)(13 76 40)(14 77 41)(15 78 42)(16 80 45)(17 81 43)(18 79 44) 0 
174 5184 (1 64 46 19 55 28)(2 65 47 20 56 29)(3 66 48 21 57 30)(4 68 51 22 59 33)(5 69 49 23 60 31)(6 67 50 24 58 32)(7 71 54 25 62 36)(8 72 52 26 63 34)(9 70 53 27 61 35)(10 73 37)(11 74 38)(12 75 39)(13 77 42)(14 78 40)(15 76 41)(16 80 45)(17 81 43)(18 79 44) 0 
175 3456 (1 74 39 10 56 30)(2 75 37 11 57 28)(3 73 38 12 55 29)(4 77 42 13 59 33)(5 78 40 14 60 31)(6 76 41 15 58 32)(7 80 45 16 62 36)(8 81 43 17 63 34)(9 79 44 18 61 35)(19 65 48)(20 66 46)(21 64 47)(22 68 51)(23 69 49)(24 67 50)(25 71 54)(26 72 52)(27 70 53) 0 
176 11664 (1 55 28)(2 56 29)(3 57 30)(4 58 31)(5 60 32 6 59 33)(7 61 34)(8 63 35 9 62 36)(10 73 46 19 64 37)(11 74 47 20 65 38)(12 75 48 21 66 39)(13 76 49 22 67 40)(14 78 50 24 68 42)(15 77 51 23 69 41)(16 79 52 25 70 43)(17 81 53 27 71 45)(18 80 54 26 72 44) 0 
177 23328 (1 65 39 10 56 30)(2 66 37 11 57 28)(3 64 38 12 55 29)(4 67 40 13 58 31)(5 69 41 15 59 33)(6 68 42 14 60 32)(7 70 43 16 61 34)(8 72 44 18 62 36)(9 71 45 17 63 35)(19 74 48)(20 75 46)(21 73 47)(22 76 49)(23 78 50 24 77 51)(25 79 52)(26 81 53 27 80 54) 0 
178 1296 (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9)(10 13 16)(11 14 17)(12 15 18)(19 22 25)(20 23 26)(21 24 27)(28 31 34)(29 32 35)(30 33 36)(37 40 43)(38 41 44)(39 42 45)(46 49 52)(47 50 53)(48 51 54)(55 58 61)(56 59 62)(57 60 63)(64 76 70 73 67 79)(65 77 71 74 68 80)(66 78 72 75 69 81) 0 
179 2592 (1 4 8 2 5 9 3 6 7)(10 13 17 11 14 18 12 15 16)(19 22 26 20 23 27 21 24 25)(28 31 35 29 32 36 30 33 34)(37 40 44 38 41 45 39 42 43)(46 49 53 47 50 54 48 51 52)(55 67 62 65 59 72 57 69 61 64 58 71 56 68 63 66 60 70)(73 76 80 74 77 81 75 78 79) 0 
180 5184 (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9)(10 13 16)(11 14 17)(12 15 18)(19 22 25)(20 23 26)(21 24 27)(28 40 52)(29 41 53)(30 42 54)(31 43 46)(32 44 47)(33 45 48)(34 37 49)(35 38 50)(36 39 51)(55 58 61)(56 59 62)(57 60 63)(64 76 70 73 67 79)(65 77 71 74 68 80)(66 78 72 75 69 81) 0 
181 10368 (1 4 8 2 5 9 3 6 7)(10 13 17 11 14 18 12 15 16)(19 22 26 20 23 27 21 24 25)(28 40 53 29 41 54 30 42 52)(31 44 47 32 45 48 33 43 46)(34 37 49 35 38 50 36 39 51)(55 67 62 65 59 72 57 69 61 64 58 71 56 68 63 66 60 70)(73 76 80 74 77 81 75 78 79) 0 
182 10368 (1 13 26 2 14 27 3 15 25)(4 17 20 5 18 21 6 16 19)(7 10 22 8 11 23 9 12 24)(28 40 53 29 41 54 30 42 52)(31 44 47 32 45 48 33 43 46)(34 37 49 35 38 50 36 39 51)(55 58 62 56 59 63 57 60 61)(64 76 71 74 68 81 66 78 70 73 67 80 65 77 72 75 69 79) 0 
183 5184 (1 13 25)(2 14 26)(3 15 27)(4 16 19)(5 17 20)(6 18 21)(7 10 22)(8 11 23)(9 12 24)(28 40 52)(29 41 53)(30 42 54)(31 43 46)(32 44 47)(33 45 48)(34 37 49)(35 38 50)(36 39 51)(55 76 61 73 58 79)(56 77 62 74 59 80)(57 78 63 75 60 81)(64 67 70)(65 68 71)(66 69 72) 0 
184 3888 (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9)(10 22 16 19 13 25)(11 23 17 20 14 26)(12 24 18 21 15 27)(28 31 34)(29 32 35)(30 33 36)(37 49 43 46 40 52)(38 50 44 47 41 53)(39 51 45 48 42 54)(55 58 61)(56 59 62)(57 60 63)(64 76 70 73 67 79)(65 77 71 74 68 80)(66 78 72 75 69 81) 0 
185 7776 (1 4 8 2 5 9 3 6 7)(10 22 17 20 14 27 12 24 16 19 13 26 11 23 18 21 15 25)(28 31 35 29 32 36 30 33 34)(37 49 44 47 41 54 39 51 43 46 40 53 38 50 45 48 42 52)(55 67 62 65 59 72 57 69 61 64 58 71 56 68 63 66 60 70)(73 76 80 74 77 81 75 78 79) 0 
186 11664 (1 34)(2 43)(3 52)(4 61)(5 70 6 79)(8 16)(9 25)(10 35)(11 44)(12 53)(13 62)(14 71 15 80)(18 26)(19 36)(20 45)(21 54)(22 63)(23 72 24 81)(29 37)(30 46)(31 55)(32 64 33 73)(39 47)(40 56)(41 65 42 74)(49 57)(50 66 51 75)(59 67 60 76)(68 69 78 77) 0 
187 46656 (1 35 10 36 19 34)(2 44 11 45 20 43)(3 53 12 54 21 52)(4 71 15 63 22 70 6 62 13 72 24 61)(5 80 14 81 23 79)(7 8 17 18 27 25)(9 26 16)(29 37)(30 46)(31 64 33 55)(32 73)(39 47)(40 65 42 56)(41 74)(49 66 51 57)(50 75)(58 67 69 60)(59 76 68 78) 0 
188 46656 (1 44 11 54 21 34)(2 53 12 36 19 43)(3 35 10 45 20 52)(4 71 15 63 22 70 6 62 13 72 24 61)(5 80 14 81 23 79)(7 8 17 18 27 25)(9 26 16)(28 37 38 47 48 30)(29 46 39)(31 64 42 56 49 66 33 55 40 65 51 57)(32 73 41 74 50 75)(58 67 69 60)(59 76 68 78) 0 
189 34992 (1 34)(2 52 3 43)(4 61)(5 79 6 70)(8 16 9 25)(10 36 19 35)(11 54 21 44)(12 45 20 53)(13 63 22 62)(14 81 24 71)(15 72 23 80)(17 18 27 26)(29 46 30 37)(31 55)(32 73 33 64)(38 47 48 39)(40 56 49 57)(41 74 51 66)(42 65 50 75)(59 76 60 67)(68 77 78 69) 0 
190 279936 (1 55 61 34 31 4)(2 64 63 52 33 22 3 73 62 43 32 13)(5 10 56 70 36 49 6 19 57 79 35 40)(7 28 58)(8 37 59 16 29 67 9 46 60 25 30 76)(11 65 72 54 51 24 21 75 80 44 41 14)(12 74 71 45 50 15 20 66 81 53 42 23)(17 38 68 18 47 69 27 48 78 26 39 77) 0 
191 1944 (1 4)(2 5)(3 6)(10 13)(11 14)(12 15)(19 22)(20 23)(21 24)(28 58)(29 59)(30 60)(31 55)(32 56)(33 57)(34 61)(35 62)(36 63)(37 67 46 76)(38 68 47 77)(39 69 48 78)(40 64 49 73)(41 65 50 74)(42 66 51 75)(43 70 52 79)(44 71 53 80)(45 72 54 81) 0 
192 3888 (1 4)(2 5)(3 6)(7 8 9)(10 13)(11 14)(12 15)(16 17 18)(19 22)(20 23)(21 24)(25 26 27)(28 67 46 58)(29 68 47 59)(30 69 48 60)(31 64 49 55)(32 65 50 56)(33 66 51 57)(34 71 54 61 35 72 52 62 36 70 53 63)(37 76)(38 77)(39 78)(40 73)(41 74)(42 75)(43 80 45 79 44 81) 0 
193 3888 (1 5 2 6 3 4)(10 14 11 15 12 13)(19 23 20 24 21 22)(28 59 29 60 30 58)(31 55 32 56 33 57)(34 61)(35 62)(36 63)(37 68 47 78 39 67 46 77 38 69 48 76)(40 64 50 74 42 66 49 73 41 65 51 75)(43 70 52 79)(44 71 53 80)(45 72 54 81) 0 
194 7776 (1 5 2 6 3 4)(7 8 9)(10 14 11 15 12 13)(16 17 18)(19 23 20 24 21 22)(25 26 27)(28 68 47 60 30 67 46 59 29 69 48 58)(31 64 50 56 33 66 49 55 32 65 51 57)(34 71 54 61 35 72 52 62 36 70 53 63)(37 77 38 78 39 76)(40 73 41 74 42 75)(43 80 45 79 44 81) 0 
195 7776 (1 13 19 4 10 22)(2 14 20 5 11 23)(3 15 21 6 12 24)(7 17 27)(8 18 25)(9 16 26)(28 58)(29 59)(30 60)(31 55)(32 56)(33 57)(34 62 36 61 35 63)(37 67 46 76)(38 68 47 77)(39 69 48 78)(40 64 49 73)(41 65 50 74)(42 66 51 75)(43 71 54 79 44 72 52 80 45 70 53 81) 0 
196 3888 (1 13 19 4 10 22)(2 14 20 5 11 23)(3 15 21 6 12 24)(7 16 25)(8 17 26)(9 18 27)(28 76 37 58)(29 77 38 59)(30 78 39 60)(31 73 40 55)(32 74 41 56)(33 75 42 57)(34 79 43 61)(35 80 44 62)(36 81 45 63)(46 67)(47 68)(48 69)(49 64)(50 65)(51 66)(52 70)(53 71)(54 72) 0 
197 15552 (1 14 20 6 12 22)(2 15 21 4 10 23)(3 13 19 5 11 24)(7 17 27)(8 18 25)(9 16 26)(28 59 29 60 30 58)(31 55 32 56 33 57)(34 62 36 61 35 63)(37 68 47 78 39 67 46 77 38 69 48 76)(40 64 50 74 42 66 49 73 41 65 51 75)(43 71 54 79 44 72 52 80 45 70 53 81) 0 
198 7776 (1 14 20 6 12 22)(2 15 21 4 10 23)(3 13 19 5 11 24)(7 16 25)(8 17 26)(9 18 27)(28 77 38 60 30 76 37 59 29 78 39 58)(31 73 41 56 33 75 40 55 32 74 42 57)(34 79 43 61)(35 80 44 62)(36 81 45 63)(46 68 47 69 48 67)(49 64 50 65 51 66)(52 70)(53 71)(54 72) 0 
199 17496 (1 4)(2 6 3 5)(8 9)(10 13)(11 15 12 14)(17 18)(19 22)(20 24 21 23)(26 27)(28 58)(29 60 30 59)(31 55)(32 56 33 57)(34 61)(35 63)(36 62)(37 76 46 67)(38 78 48 68)(39 77 47 69)(40 73 49 64)(41 74 51 66)(42 75 50 65)(43 79 52 70)(44 81 53 72)(45 80 54 71) 0 
200 34992 (1 13 19 4 10 22)(2 15 21 5 11 24 3 14 20 6 12 23)(7 17 25 8 16 26)(9 18 27)(28 58)(29 60 30 59)(31 55)(32 56 33 57)(34 62)(35 61)(36 63)(37 76 46 67)(38 78 48 68)(39 77 47 69)(40 73 49 64)(41 74 51 66)(42 75 50 65)(43 80 52 71)(44 79 53 70)(45 81 54 72) 0 
201 1944 (1 4)(2 5)(3 6)(10 22)(11 23)(12 24)(13 19)(14 20)(15 21)(16 25)(17 26)(18 27)(28 58)(29 59)(30 60)(31 55)(32 56)(33 57)(34 61)(35 62)(36 63)(37 67)(38 68)(39 69)(40 64)(41 65)(42 66)(43 70)(44 71)(45 72)(46 76)(47 77)(48 78)(49 73)(50 74)(51 75)(52 79)(53 80)(54 81) 0 
202 7776 (1 4)(2 5)(3 6)(7 8 9)(10 22)(11 23)(12 24)(13 19)(14 20)(15 21)(16 26 18 25 17 27)(28 67 37 76 46 58)(29 68 38 77 47 59)(30 69 39 78 48 60)(31 64 40 73 49 55)(32 65 41 74 50 56)(33 66 42 75 51 57)(34 71 45 79 53 63)(35 72 43 80 54 61)(36 70 44 81 52 62) 0 
203 3888 (1 4)(2 5)(3 6)(10 22)(11 23)(12 24)(13 19)(14 20)(15 21)(16 25)(17 26)(18 27)(28 76 46 67 37 58)(29 77 47 68 38 59)(30 78 48 69 39 60)(31 73 49 64 40 55)(32 74 50 65 41 56)(33 75 51 66 42 57)(34 79 52 70 43 61)(35 80 53 71 44 62)(36 81 54 72 45 63) 0 
204 3888 (1 4)(2 5)(3 6)(7 8 9)(10 22)(11 23)(12 24)(13 19)(14 20)(15 21)(16 26 18 25 17 27)(28 58)(29 59)(30 60)(31 55)(32 56)(33 57)(34 62 36 61 35 63)(37 67)(38 68)(39 69)(40 64)(41 65)(42 66)(43 71 45 70 44 72)(46 76)(47 77)(48 78)(49 73)(50 74)(51 75)(52 80 54 79 53 81) 0 
205 3888 (1 5 2 6 3 4)(10 23 11 24 12 22)(13 19 14 20 15 21)(16 25)(17 26)(18 27)(28 59 29 60 30 58)(31 55 32 56 33 57)(34 61)(35 62)(36 63)(37 68 38 69 39 67)(40 64 41 65 42 66)(43 70)(44 71)(45 72)(46 77 47 78 48 76)(49 73 50 74 51 75)(52 79)(53 80)(54 81) 0 
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213 93312 (1 35 14 81 20 52 4 62 12 45 24 70)(2 53 13 63 21 43 6 71 10 36 23 79)(3 44 15 72 19 34 5 80 11 54 22 61)(7 8 17 18 27 25)(9 26 16)(28 32 77 74 47 49 58 57 39 42 69 64)(29 50 76 56 48 40 60 66 37 33 68 73)(30 41 78 65 46 31 59 75 38 51 67 55) 0 
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215 46656 (1 35 14 72 19 34 5 71 10 36 23 70)(2 53 13 81 20 52 4 80 11 54 22 79)(3 44 15 63 21 43 6 62 12 45 24 61)(7 8 17 18 27 25)(9 26 16)(28 32 68 64)(29 50 67 73)(30 41 69 55)(31 77 65 46)(33 59 66 37)(38 51 58 75)(39 42 60 57)(40 78 56 48)(47 49 76 74) 0 
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228 288 (1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(13 14 15)(16 17 18)(19 20 21)(22 23 24)(25 26 27)(28 65 30 64 29 66)(31 68 33 67 32 69)(34 71 36 70 35 72)(37 56 39 55 38 57)(40 59 42 58 41 60)(43 62 45 61 44 63)(46 74 48 73 47 75)(49 77 51 76 50 78)(52 80 54 79 53 81) 0 
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232 864 (1 10 19)(2 11 20)(3 12 21)(4 14 24)(5 15 22)(6 13 23)(7 17 27)(8 18 25)(9 16 26)(28 64)(29 65)(30 66)(31 68 33 67 32 69)(34 71 36 70 35 72)(37 55)(38 56)(39 57)(40 59 42 58 41 60)(43 62 45 61 44 63)(46 73)(47 74)(48 75)(49 77 51 76 50 78)(52 80 54 79 53 81) 0 
233 864 (1 10 19)(2 11 20)(3 12 21)(4 14 24)(5 15 22)(6 13 23)(7 16 25)(8 17 26)(9 18 27)(28 55 37 73 46 64)(29 56 38 74 47 65)(30 57 39 75 48 66)(31 59 42 76 50 69)(32 60 40 77 51 67)(33 58 41 78 49 68)(34 61 43 79 52 70)(35 62 44 80 53 71)(36 63 45 81 54 72) 0 
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258 3888 (1 2 3)(4 6)(7 8 9)(10 11 12)(13 15)(16 17 18)(19 20 21)(22 24)(25 26 27)(28 65 30 64 29 66)(31 69)(32 68)(33 67)(34 71 36 70 35 72)(37 56 48 73 38 57 46 74 39 55 47 75)(40 60 49 78)(41 59 50 77)(42 58 51 76)(43 62 54 79 44 63 52 80 45 61 53 81) 0 
259 7776 (1 10 19)(2 11 20)(3 12 21)(4 15 22 6 13 24)(5 14 23)(7 17 27)(8 18 25)(9 16 26)(28 73 37 64)(29 74 38 65)(30 75 39 66)(31 78 40 69)(32 77 41 68)(33 76 42 67)(34 80 45 70 35 81 43 71 36 79 44 72)(46 55)(47 56)(48 57)(49 60)(50 59)(51 58)(52 62 54 61 53 63) 0 
260 1944 (1 10 19)(2 11 20)(3 12 21)(4 15 22 6 13 24)(5 14 23)(7 16 25)(8 17 26)(9 18 27)(28 64)(29 65)(30 66)(31 69)(32 68)(33 67)(34 70)(35 71)(36 72)(37 55 46 73)(38 56 47 74)(39 57 48 75)(40 60 49 78)(41 59 50 77)(42 58 51 76)(43 61 52 79)(44 62 53 80)(45 63 54 81) 0 
261 7776 (1 11 21)(2 12 19)(3 10 20)(4 15 22 6 13 24)(5 14 23)(7 17 27)(8 18 25)(9 16 26)(28 56 48 64 29 57 46 65 30 55 47 66)(31 60 49 69)(32 59 50 68)(33 58 51 67)(34 62 54 70 35 63 52 71 36 61 53 72)(37 74 39 73 38 75)(40 78)(41 77)(42 76)(43 80 45 79 44 81) 0 
262 2916 (2 3)(4 6)(8 9)(11 12)(13 15)(17 18)(20 21)(22 24)(26 27)(28 64)(29 66)(30 65)(31 69)(32 68)(33 67)(34 70)(35 72)(36 71)(37 73 46 55)(38 75 47 57)(39 74 48 56)(40 78 49 60)(41 77 50 59)(42 76 51 58)(43 79 52 61)(44 81 53 63)(45 80 54 62) 0 
263 5832 (1 10 19)(2 12 20 3 11 21)(4 15 22 6 13 24)(5 14 23)(7 17 25 8 16 26)(9 18 27)(28 64)(29 66)(30 65)(31 69)(32 68)(33 67)(34 71)(35 70)(36 72)(37 73 46 55)(38 75 47 57)(39 74 48 56)(40 78 49 60)(41 77 50 59)(42 76 51 58)(43 80 52 62)(44 79 53 61)(45 81 54 63) 0 
264 1944 (4 6)(10 19)(11 20)(12 21)(13 24)(14 23)(15 22)(16 25)(17 26)(18 27)(28 73 46 55 37 64)(29 74 47 56 38 65)(30 75 48 57 39 66)(31 78 49 60 40 69)(32 77 50 59 41 68)(33 76 51 58 42 67)(34 79 52 61 43 70)(35 80 53 62 44 71)(36 81 54 63 45 72) 0 
265 7776 (4 6)(7 8 9)(10 19)(11 20)(12 21)(13 24)(14 23)(15 22)(16 26 18 25 17 27)(28 55 37 73 46 64)(29 56 38 74 47 65)(30 57 39 75 48 66)(31 60 40 78 49 69)(32 59 41 77 50 68)(33 58 42 76 51 67)(34 62 45 79 53 72)(35 63 43 80 54 70)(36 61 44 81 52 71) 0 
266 3888 (4 6)(7 9 8)(10 19)(11 20)(12 21)(13 24)(14 23)(15 22)(16 27 17 25 18 26)(28 64)(29 65)(30 66)(31 69)(32 68)(33 67)(34 72 35 70 36 71)(37 55)(38 56)(39 57)(40 60)(41 59)(42 58)(43 63 44 61 45 62)(46 73)(47 74)(48 75)(49 78)(50 77)(51 76)(52 81 53 79 54 80) 0 
267 972 (4 6)(10 19)(11 20)(12 21)(13 24)(14 23)(15 22)(16 25)(17 26)(18 27)(28 64)(29 65)(30 66)(31 69)(32 68)(33 67)(34 70)(35 71)(36 72)(37 55)(38 56)(39 57)(40 60)(41 59)(42 58)(43 61)(44 62)(45 63)(46 73)(47 74)(48 75)(49 78)(50 77)(51 76)(52 79)(53 80)(54 81) 0 
268 3888 (1 2 3)(4 6)(7 8 9)(10 20 12 19 11 21)(13 24)(14 23)(15 22)(16 26 18 25 17 27)(28 65 30 64 29 66)(31 69)(32 68)(33 67)(34 71 36 70 35 72)(37 56 39 55 38 57)(40 60)(41 59)(42 58)(43 62 45 61 44 63)(46 74 48 73 47 75)(49 78)(50 77)(51 76)(52 80 54 79 53 81) 0 
269 7776 (1 2 3)(4 6)(7 9 8)(10 20 12 19 11 21)(13 24)(14 23)(15 22)(16 27 17 25 18 26)(28 74 48 55 38 66)(29 75 46 56 39 64)(30 73 47 57 37 65)(31 78 49 60 40 69)(32 77 50 59 41 68)(33 76 51 58 42 67)(34 81 53 61 45 71)(35 79 54 62 43 72)(36 80 52 63 44 70) 0 
270 2916 (2 3)(4 6)(8 9)(10 19)(11 21)(12 20)(13 24)(14 23)(15 22)(16 25)(17 27)(18 26)(28 64)(29 66)(30 65)(31 69)(32 68)(33 67)(34 70)(35 72)(36 71)(37 73)(38 75)(39 74)(40 78)(41 77)(42 76)(43 79)(44 81)(45 80)(46 55)(47 57)(48 56)(49 60)(50 59)(51 58)(52 61)(53 63)(54 62) 0 
271 5832 (2 3)(4 6)(7 8)(10 19)(11 21)(12 20)(13 24)(14 23)(15 22)(16 26)(17 25)(18 27)(28 73 37 55 46 64)(29 75 38 57 47 66)(30 74 39 56 48 65)(31 78 40 60 49 69)(32 77 41 59 50 68)(33 76 42 58 51 67)(34 80 43 62 52 71)(35 79 44 61 53 70)(36 81 45 63 54 72) 0 
272 46656 (1 31 27 48 6 34 19 49 9 30 24 52)(2 32 26 47 5 35 20 50 8 29 23 53)(3 33 25 46 4 36 21 51 7 28 22 54)(10 40 18 39 15 43)(11 41 17 38 14 44)(12 42 16 37 13 45)(55 76 72 57 78 70)(56 77 71)(58 81 66 60 79 64)(59 80 65)(61 73 67 63 75 69)(62 74 68) 0 
273 23328 (1 31 25 46 4 34 19 49 7 28 22 52)(2 32 27 48 6 35 20 50 9 30 24 53)(3 33 26 47 5 36 21 51 8 29 23 54)(10 40 16 37 13 43)(11 41 18 39 15 44)(12 42 17 38 14 45)(55 58 61)(56 59 63 57 60 62)(64 67 70)(65 68 72 66 69 71)(73 76 79)(74 77 81 75 78 80) 0 
274 46656 (1 31 26 38 15 52)(2 33 25 37 13 53)(3 32 27 39 14 54)(4 35 20 42 16 46)(5 36 21 41 18 48)(6 34 19 40 17 47)(7 28 22 44 11 51)(8 29 24 43 10 49)(9 30 23 45 12 50)(55 67 62 65 60 70)(56 69 61 64 58 71)(57 68 63 66 59 72)(73 76 80 74 78 79)(75 77 81) 0 
275 23328 (1 49 8 47 6 52)(2 51 7 46 4 53)(3 50 9 48 5 54)(10 40 17 38 15 43)(11 42 16 37 13 44)(12 41 18 39 14 45)(19 31 26 29 24 34)(20 33 25 28 22 35)(21 32 27 30 23 36)(55 67 62 65 60 70)(56 69 61 64 58 71)(57 68 63 66 59 72)(73 76 80 74 78 79)(75 77 81) 0 

As remarked earlier, we now want (in response to a question from Guenter Stertenbrink) to use a slightly smaller symmetry group H, in which transposition (and therefore some rotations) is omitted. That is, we consider the group generated only by

Here is the GAP code to define this group (omitting relabelling, as above). We can again analyse the group H using GAP; its order is indeed 68, or 1679616. The group again has trivial centre; it has exponent 36. H is solvable, but not nilpotent. It has derived length 4.

As before, what interests us are the conjugacy classes, and there are 484 of these. Again, we want to work out the number of fixed grids (up to relabelling) for each class. We can easily do this using the above results of Ed Russell. Each conjugacy class of H is a subset of a conjugacy class of the whole group G. We simply need to identify which this is, and we can read off the number of fixed points. Here is the GAP output of a program to do this. For each of the 484 conjugacy classes, the program gives the size of the class, and the class of G to which it belongs, numbered as above. The fourth column (added manually later!) contains the number worked out by Ed Russell.

In conclusion, there are 10945437157 essentially different completed sudoku grids if we use the group H. That is, 23919 G-classes give a single H-class, while the other 5472706619 G-classes split into two H-classes.

In the same way, we can use a definition which is more restrictive still; we can just identify sudoku grids which are essentially rotation-invariant. Since our group just has 4 elements; the identity (which essentially fixes 18383222420692992 grids), 2 rotations by 90 degrees (essentially fixing 13056 grids) and a rotation by 180 degrees (essentially fixing 155492352 grids). The same sort of argument then gives a total of (18383222420692992+2x13056+155492352)/4=4595805644052864 grids.


Frazer Jarvis, September 7th 2005. Home page.